傅立葉與調和分析
狄利克雷核
要研究傅立葉級數是否累加到 f，把部分和壓縮成單個積分會很有幫助。狄利克雷核正是做這件事的工具：它是你沿之滑動、並把 f 與之作積分以讀出某點處第 N 個部分和的函數。
確切地說，D_N(t) = 對 n 從 -N 到 N 求和 e^{i n t} = sin((N + 1/2) t) / sin(t/2)。於是 f 的傅立葉級數第 N 個部分和等於卷積 (1/(2*pi)) 在 [-pi, pi] 上 integral of f(x - t) D_N(t) dt。這樣關於部分和的收斂問題就變成了 N 增大時這個核如何作用的問題。
D_N 的決定性缺陷在於它並非非負：它振盪，且與變號的交疊使其 L1 範數像 (4/pi^2) log N 那樣無界增長。這種 L1 爆破——即勒貝格常數——正是普通部分和會失常的原因，也是費耶爾後來用一個正的平均核取代 D_N 以馴服收斂的緣由。
D_0(t) = 1，D_1(t) = 1 + 2 cos t，D_2(t) = 1 + 2 cos t + 2 cos 2t。每個在 [-pi, pi] 上的積分都是 2*pi（只有常數項存活），故常數函數被精確重現——但 D_N 的負瓣隨 N 增大而增長。
該核（以 1/(2*pi) 歸一化後）積分為 1，但並非正的——這正是麻煩的來源。
另見