傅立葉級數的逐點收斂

最自然的期望是：在每個固定點 x 處，部分和 S_N(x) 安定到函數值 f(x)。這就是逐點收斂——逐點逐點地檢驗收斂。它比聽起來更微妙，而分析學的真實歷史在很大程度上就是關於它有多微妙的故事。

狄利克雷定理（1829）給出一個乾淨的充分條件：若 f 是 2*pi 週期函數，在 x 附近分段連續且分段單調（或更一般地有界變差），則 S_N(x) 收斂到單側極限的平均 (f(x+) + f(x-))/2。在連續點該平均就是 f(x)；在跳躍點它是中點。迪尼判別法依據 f 在 x 附近差商的可積假設給出另一個充分條件。

現在是容易記錯的警告。僅有連續性並不保證逐點收斂：du Bois-Reymond 構造了一個連續函數，其傅立葉級數在某點發散。更糟的是，柯爾莫哥洛夫（1923）構造了一個可積函數，其傅立葉級數處處發散。補救的結果是卡爾松定理（1966）：若 f 屬於 L2（或僅屬於 p > 1 的 L^p），則其傅立葉級數幾乎處處收斂到 f——但對一般的此類 f，「幾乎處處」是能宣稱的最佳結果，而非「處處」。