均方收斂

逐點收斂要求部分和在每一個點都正確——這是苛刻的、逐點的標準。均方收斂要求某種更溫和、更穩健的東西：f 與其部分和之間的總平方誤差在一個週期上積分後趨於零。它衡量平均意義上的接近，而非處處接近。

形式上，若 (f - S_N) 的 L2 範數趨於 0，即 在 [-pi, pi] 上 integral of |f(x) - S_N(x)|^2 dx -> 0（當 N -> infinity），則 S_N -> f 均方收斂。這恰是在平方可積函數的希爾伯特空間 L2 中的收斂，其中傅立葉部分和是到前若干頻率張成空間的正交投影——而正交投影永遠是最佳 L2 逼近。

這裡理論優美而完備，毫無逐點情形的病態。對每個 L2 中的 f，其傅立葉級數都均方收斂到 f——句號，無需額外假設。三角系是 L2 的完備標準正交基，故帕塞瓦爾等式成立，部分和是最優的。這一乾淨陳述的代價是：均方收斂對任何單個點都不置一詞；兩個均方相等的函數可能在一個測度為零的集上不同。