分布（廣義函數）

物理學家長久以來寫下諸如狄拉克 delta（在一點處「無窮高的尖峰、總面積為一」）和階躍函數的導數這類對象，而經典分析說它們不存在。分布正是這類對象的嚴格歸宿。視角的關鍵轉變：不再追問對象在每一點的值，而只問它與一個光滑測試函數作積分時做了什麼。一個分布完全由這些加權平均所定義。

形式上，固定測試函數空間：具緊支集的光滑函數（或速降函數的施瓦茨空間，用於緩增分布）。分布是該空間上的連續線性泛函——一條規則 T，線性且連續地把每個測試函數 phi 賦予一個數 T(phi)。每個局部可積函數 f 通過 phi 映為 integral of f phi 給出一個分布，故普通函數忠實嵌入；但分布遠多於函數。狄拉克 delta 即泛函 phi 映為 phi(0)。

其威力來自通過「把工作轉移到測試函數上」而延拓的運算。分布 T 的導數由 T'(phi) = -T(phi') 定義，照搬分部積分——故每個分布都無窮可微，而跳躍的導數是一個 delta。傅立葉變換以同樣方式延拓到緩增分布，使得對像 1、e^{i x} 或 delta 自身這些都不可積的對象的變換有了意義。這是偏微分方程以及超出經典函數空間的調和分析的自然舞台。