泛函分析
弱收斂
弱收斂是一種較溫和的接近概念：它不要求向量在長度上彼此靠攏，而只要求對它們的每一種連續線性測量在極限處一致。兩個向量可以在範數上相距甚遠卻弱地相近，只要沒有任何單一泛函能在極限處分辨它們。這是透過一切可能的影子、而非正面看到的收斂。
確切地說，在賦範空間 X 中，序列 x_n 弱收斂於 x，若對對偶 X* 中的每個有界線性泛函 f 都有 f(x_n) -> f(x)。範數收斂（||x_n - x|| -> 0，亦稱強收斂）總蘊含弱收斂，反之則不然。弱收斂之要點在於它遠更易達成：自反空間（例如任意希爾伯特空間，或 1 < p < 無窮 的 L^p）中的有界序列總有弱收斂的子序列，縱使它們可能沒有任何範數收斂的子序列。
經典的警示是：在弱極限下範數僅是下半連續而非連續的：人們有 ||x|| <= liminf ||x_n||，且不等式可以嚴格——質量可在極限處“逃逸”。在無窮維希爾伯特空間中，標準正交序列 e_n 弱收斂於 0，卻對所有 n 保持 ||e_n|| = 1，這生動地展示了弱極限丟失了範數極限本會保留的信息。
在 l^2 中，基向量 e_n 對每個固定的 y 滿足 <e_n, y> = y_n -> 0（因為 sum |y_n|^2 < 無窮 迫使 y_n -> 0），故 e_n 弱收斂於 0。然而對所有 n 有 ||e_n - 0|| = 1，故 e_n 並不依範數收斂。這單個序列就乾淨地分開了兩種概念。
l^2 中的標準正交序列：弱收斂於零卻範數恆為 1，從不依範數收斂。
在有限維中弱收斂與強收斂一致，因為只有有限多個坐標可供檢驗。二者僅在無窮維中分道揚鑣，而那恰是弱收斂大顯身手之處：它恢復了一種緊性（有界序列有收斂子序列），這正是範數拓撲所喪失的。
另見