閔可夫斯基不等式

閔可夫斯基不等式正是 L^p 範數的三角不等式：兩個函數之和的大小絕不超過各自大小之和。從幾何上說，正如你不能靠走三角形的兩條邊而非一條來縮短行程，你也無法使 ||f + g||_p 大於 ||f||_p + ||g||_p。沒有這一事實，L^p 範數便根本配不上「範數」之名。

形式上，對 1 <= p <= 無窮 及 f, g 屬於 L^p，有 ||f + g||_p <= ||f||_p + ||g||_p。當 1 < p < 無窮 時的標準證明，把 |f+g|^p 的積分寫成 |f+g| 乘以 |f+g|^(p-1) 的積分，利用 |f+g| <= |f| + |g| 拆開，再對每一塊用共軛指數 q = p/(p-1) 施以赫爾德不等式。端點情形 p = 1 與 p = 無窮 直接由數的普通三角不等式得出。

等號（當 1 < p < 無窮 時）僅在 f 與 g 指向「同一方向」時成立——確切地說，即其中一個幾乎處處是另一個的非負純量倍。需注意：該不等式確實要求 p >= 1。當 0 < p < 1 時，對適當的函數它會反向，這正是那些指數無法構成賦範空間的原因。