Lp 範數

範數用一個非負數回答「這個對象有多大」。對函數而言合理的答案有很多，而 L^p 範數是其中一個單參數的旋鈕。把旋鈕撥到 p = 1，量度的是累積的總大小（|f| 下方的面積）；撥到 p = 2，量度的是均方根或「能量」式的大小；隨著 p 增大，它越來越關注最高的尖峰，越來越忽視寬廣的低平區域。

對 (X, mu) 上的可測函數 f 及 1 <= p < 無窮，L^p 範數為 ||f||_p = (|f|^p 的積分) 的 1/p 次方。外層的 1/p 次方是關鍵：它使範數齊次，從而對任意純量 c 有 ||c f||_p = |c| ||f||_p，恢復範數應有的伸縮性。沒有它，把 f 乘以 c 會使該量乘上 |c|^p 而非 |c|。

嚴格說來，唯有在把幾乎處處相等的函數等同後它才是範數，因為 ||f||_p = 0 只能逼出 f 幾乎處處為零，而非處處為零。在未作等同的函數空間上它僅是一個半範數。三角不等式 ||f + g||_p <= ||f||_p + ||g||_p 對所有 p >= 1 成立，這正是閔可夫斯基不等式；當 0 < p < 1 時它不成立，故那些指數給不出真正的範數。