泛函分析
正交補
給定一個子空間，它的正交補是與之垂直的一切——你可以沿之移動而不擾動子空間中任何向量的那些方向。在 R^3 中，過原點平面的正交補是與之垂直的法線。這種分解為子空間及其垂直方向的方式，是把希爾伯特空間拆成獨立部分的最乾淨辦法。
對希爾伯特空間 H 的子集（通常是子空間）M，正交補為 M-perp = { x 屬於 H : 對所有 m 屬於 M 有 <x, m> = 0 }。無論 M 是什麼，M-perp 總是一個閉線性子空間，因為與固定向量正交是一個連續的線性條件。當 M 本身是閉子空間時，H 分裂為直和 H = M (+) M-perp：每個向量唯一地分解為 M 中的一部分加上 M-perp 中的一部分。
須留意一處微妙：雙重正交補 M-perp-perp 等於 M 的閉包，而非 M 本身，因此兩次取補僅當 M 已是閉的時才還原 M。對非閉子空間，你只能取回它的閉包。這正是“閉”的告誡，使“閉”成為貫穿希爾伯特空間幾何的反覆出現的假設。
在 L^2[-pi, pi] 中令 M 為偶函數（f(-x) = f(x)）構成的閉子空間。它的正交補 M-perp 是奇函數，因為在對稱區間上（偶）(奇) 的積分為 0。任意 f 都唯一分裂為 f_even(x) = (f(x) + f(-x))/2 加 f_odd(x) = (f(x) - f(-x))/2，即正交分解。
偶函數與奇函數互為對稱區間 L^2 內的正交補。
即便 M 不閉，M-perp 也自動閉——這一事實確有用處：它給出求任意子空間閉包的捷徑，因為 closure(M) = M-perp-perp。正交補在閉子空間的格上表現得像一種整潔的邏輯否定。
另見