緊算子

緊算子是把無窮維「擠壓」得趨近於有限行為的算子。它把任意有界集的像壓成幾乎有限維的集合——相對緊的，意即像中的序列總有收斂子列。緊算子是有限秩矩陣在無窮維中最親近的表親，其表現也幾乎一樣好。

確切地說，賦範空間之間的線性算子 T 是緊的，若單位球 B 的像 T(B) 有緊閉包（等價地，每個有界序列 (x_n) 都有子列使 (T x_n) 收斂）。在希爾伯特空間或巴拿赫空間上，緊算子構成有界算子代數中的一個閉的雙邊理想，並且恰好是有限秩算子的範數極限（對希爾伯特空間及許多巴拿赫空間成立）。

它們的譜理論格外乾淨。由 Riesz–Schauder 理論，無窮維空間上的緊算子，其譜由 0 連同至多可數個非零特徵值組成，每個特徵值有限重數，且 0 是唯一可能的聚點。需注意：在無窮維空間上 0 總落在譜中（恆等算子絕不緊），而 0 未必是特徵值。