阿爾澤拉–阿斯科利定理

在有限維中，波爾查諾–魏爾斯特拉斯定理說任何有界序列都有收斂子序列。在無窮維的函數空間裡僅有有界性是不夠的——序列可以有界卻逃逸到無處。阿爾澤拉–阿斯科利定理是救援：它精確指出那個額外條件（等度連續），以恢復連續函數中「有界蘊含存在收斂子序列」。

定理：設 K 是緊度量空間。C(K) 的子集 F 具有緊閉包（從而 F 中每個序列都有一致收斂的子序列），當且僅當 F 一致有界且等度連續。序列形式：緊集上一個一致有界且等度連續的函數序列，必有子序列一致收斂到某連續函數。

其深刻內容是對 C(K) 中緊性的刻畫：相對緊的集恰是有界且等度連續的集——有界性使函數不至於豎直方向逃逸，等度連續使它們不至於劇烈振盪而散去。該定理是分析學眾多存在性證明背後的引擎：微分方程解的存在性（皮亞諾定理）、變分法、正規族、積分算子的緊性，無不依賴它。