函數序列與級數
等度連續
一致連續要求單個函數變化不太快：一個 delta 對所有點都管用。等度連續把門檻抬高到一整族函數：同一個 delta 必須同時對所有點、且對族中所有函數都管用。這是一個「沒有哪個函數太陡，而且它們一律溫和到同樣程度」的條件。
定義（集合 E 上的一致等度連續）：函數族 F 稱為等度連續的，是指對每個 epsilon > 0 都存在 delta > 0，使得對每個 f 屬於 F，只要 |x - y| < delta 就有 |f(x) - f(y)| < epsilon。關鍵在於同一個 delta 對 F 的每個成員 f 都奏效。還有一個逐點版本（delta 可依賴於基點 x，但仍不依賴於 f）；在緊集上這兩種概念一致。
等度連續正是「不胡亂擺動」的精確控制，阿爾澤拉–阿斯科利定理把它與一致有界配對，以保證存在一致收斂的子序列。一個標準的充分條件：若 F 中每個 f 都滿足以同一 L 給出的共同利普希茨界 |f(x) - f(y)| <= L|x - y|，則該族等度連續（取 delta = epsilon/L）。沒有這種控制，一個族可以一致有界卻沒有任何收斂子序列。
族 f_n(x) = sin(nx) 在 [0, 1] 上一致有界於 1，卻不等度連續：f_n'(x) = n cos(nx) 的斜率無界增長，故沒有單一的 delta 能馴服它們全部。相比之下，{x, x/2, x/3, ……} 等度連續（共同利普希茨常數為 1）。只有那個等度連續且有界的族，才被迫擁有一致收斂的子序列。
sin(nx) 有界但不等度連續；其斜率爆炸增長。
又稱
另見