函數族的一致有界

單個函數有界，是指它的圖像夾在兩條水平線之間。整個函數族一致有界，是指同一對水平線一次性容納了所有成員——存在單一的天花板，集合中沒有任何函數會戳穿它，無論函數有多少。

定義：集合 E 上的函數族 F 稱為一致有界的，是指存在常數 M（既不依賴於 x，也不依賴於所選函數），使得對所有 x 屬於 E 和所有 f 屬於 F 都有 |f(x)| <= M。等價地，在上確界範數下 sup 關於 f 屬於 F 的 ||f|| <= M。這比每個 f 各自有界更強，因為後者只給出每個函數各自的界 M_f，並無共同的天花板。

一致有界是阿爾澤拉–阿斯科利定理的兩個假設之一，它阻止函數豎直方向逃逸，而等度連續阻止水平方向的狂亂。一個相關但更深刻的現象是線性算子的一致有界原理（巴拿赫–施泰因豪斯定理），它表明逐點的界有時能自動升級為一致的界——但那是一種特殊的結構性奇蹟，並非這裡的一般情形。