伴隨算子

伴隨算子是算子「在內積下的反射」。用矩陣的話說就是共軛轉置：把 T 翻到內積配對的另一側後所得的算子。它是抽象的工具，讓你把 T 從作用於第一個位置挪到作用於第二個位置，並支撐起整套分類（自伴、正規、酉）。

在希爾伯特空間 H 上，有界算子 T 的伴隨 T* 是唯一滿足 <T x, y> = <x, T* y>（對一切 x, y 屬於 H）的有界算子。其存在與唯一性來自里斯表示定理。映射 T -> T* 是共軛線性的，反轉乘積（(ST)* = T* S*），滿足 (T*)* = T，且是等距的：||T*|| = ||T||，事實上 ||T* T|| = ||T||^2（C*-恆等式）。

對希爾伯特空間上的有界算子，伴隨總存在且有界。對無界稠定算子，伴隨的定義更為精細——其定義域由那些使 x -> <T x, y> 有界的 y 組成——而定義域是否匹配，正是區分對稱與自伴的核心。在一般巴拿赫空間上，則改用作用於對偶空間之間的對偶（轉置）算子，它在里斯辨認之下與希爾伯特伴隨一致。