無界算子

分析與物理中最重要的一些算子——微分、位置算子與動量算子、拉普拉斯算子——都是無界的：它們能把單位長度的輸入放大成任意大的輸出。這樣的算子無法在整個空間上作用而不爆破，因而只活在精心選定的稠密子空間——它們的定義域上。

希爾伯特空間 H 上的無界算子 T 是定義在 H 的稠密子空間 D(T)（其定義域）上的線性映射，使得不存在任何有限常數 C 讓 ||T x|| <= C ||x|| 對一切 x 屬於 D(T) 成立。定義域是數據的一部分：同一個公式在不同定義域上是不同的算子。要求稠定，伴隨算子才有可能被定義。

連續性喪失了——無界算子必然不連續——因而有界算子的便利理論不能照搬。取而代之，人們要求算子是閉的（其圖像在 H x H 中閉），這是恰當的替代品，使譜理論與閉圖像視角得以保持。閉圖像定理警示：定義在整個 H 上的閉算子會自動有界，這正是為什麼真正的無界算子必須有真正稠密的定義域。