泛函分析
閉圖像定理
閉圖像定理為證明一個算子連續提供了省力的捷徑。通常要證 T 連續，你必須驗證 x_n -> x 迫使 T x_n -> T x——既要輸入收斂，又要輸出收斂到正確之處。此定理允許你假定輸出已經收斂到某物，而僅需核驗那個某物就是正確的值 T x。
確切地說：設 X 與 Y 是巴拿赫空間，T : X -> Y 是線性算子。設它的圖像——所有數對 (x, T x) 構成的集合——在 X (×) Y 中是閉的，即每當 x_n -> x 且 T x_n -> y 時便有 y = T x。則 T 有界（連續）。簡言之，對巴拿赫空間之間的線性映射，圖像閉就足夠了；連續性免費奉送。
其威力在於較弱的假設。直接證連續要求造出 T x_n 的極限並辨認它；閉圖像路線則把一個極限 y 交到你手上，只要確認 y = T x，往往容易得多。與開映射定理一樣，兩空間的完備性是本質的；該結果事實上與開映射定理等價，同樣依賴貝爾綱。
設 T : X -> Y 是巴拿赫空間之間的線性算子，且你已知兩件事：x_n -> 0，以及對某個 y 有 T x_n -> y。要應用定理，你必須證明 y = 0。譬如，若你能獨立證明對每個零序列都有 T x_n -> 0（也許藉助某個積分恆等式），則圖像閉，T 有界——無需對算子範數作任何 epsilon–delta 估計。
把閉圖像當作捷徑：假定輸出極限存在，只需辨認它。
連續總蘊含圖像閉（在豪斯多夫目標中）；定理提供的是那個非平凡的逆命題，僅在完備性下成立。經典的反例是微分：作為 L^2 某稠密子空間上的算子，它圖像閉卻無界——因為它定義在一個非閉的定義域上，而非整個巴拿赫空間上。
另見