泛函分析
開映射定理
開映射定理說：巴拿赫空間之間一個擊中一切的有界線性算子不可能壓扁空間——它必把開區域鋪展成開區域。直觀地說，若算子能到達每個目標，它就不可能在任何地方無限地壓縮；僅憑滿射就強制出一種定量的開性。沒有任何緩慢的、漸近的方式去覆蓋整個目標。
確切地說：設 X 與 Y 是巴拿赫空間，T : X -> Y 是滿射的有界線性算子。則 T 是開映射——每個開集 U 的像 T(U) 在 Y 中是開的。等價地，存在常數 c > 0 使每個 y 屬於 Y 都有原像 x 滿足 ||x|| <= (1/c) ||y||：有界大小的目標可由有界大小的源到達。
頭號推論是有界逆定理：若 T 是巴拿赫空間之間的有界線性雙射，則 T 的逆也自動有界，故 T 是拓撲同構。兩個空間的完備性都不可或缺——證明依賴貝爾綱定理——而對不完備空間或非滿射算子，結論確實失效。這是定性假設（線性、有界、滿射、完備）強制出定量結論的一個驚人實例。
設同一向量空間帶有兩個範數 ||·||_a 與 ||·||_b，在各自之下都完備，且對所有 x 有 ||x||_b <= C ||x||_a。則恆等映射 (X, ||·||_a) -> (X, ||·||_b) 是有界雙射，故由有界逆定理還存在 c > 0 使 ||x||_a <= (1/c) ||x||_b：兩個完備範數的單邊比較自動升級為等價。
單向可比的兩個完備範數自動等價。
三大支柱——開映射、閉圖像、一致有界——都源於貝爾綱定理，故都要求完備性。撤去兩空間皆為巴拿赫的假設，每個陳述都會崩塌；這是援引它們時最需牢記的告誡。
另見