拓撲空間

可以把拓撲空間看作幾何學的最簡骨架：你拋棄了距離、角度與大小的一切概念，只保留唯一的資訊——哪些集合算作「開集」，也就是哪些集合夠「寬鬆」，使得其中每個點周圍都有一點活動餘地。僅憑這一項要素，你仍然可以談論鄰近、連續與連通，儘管這裡沒有任何數字來度量兩點相距多遠。

嚴格地說，拓撲空間是一個二元組 (X, T)，其中 X 是一個集合，T 是 X 的若干子集所組成的族，這些子集稱為開集，並滿足三條公理：空集與 X 本身是開集；任意多個（甚至無窮多個）開集的聯集是開集；有限多個開集的交集是開集。族 T 稱為 X 上的拓撲。

每個度量空間都自然給出一個拓撲空間——若一個集合中的每個點都落在某個含於該集合的開球內，就稱它為開集——但反過來並不成立：存在一些拓撲空間，其拓撲不來自任何度量。因此拓撲學嚴格地比度量幾何更一般，這也正是它能夠分離出那些在不撕裂的彎曲與拉伸下仍然保持的性質的原因。