豪斯多夫空間

豪斯多夫空間是這樣一種空間：任意兩個不同的點都可以被隔離開——每個點擁有自己的開氣泡，而兩個氣泡永不相觸。這是一條不起眼的分離假設，它使拓撲空間表現得像分析學中的空間，那裡不同的點顯然相距足夠遠，可以乾淨地區分開來。

嚴格地說，X 是豪斯多夫的（也稱 T2），如果對任意兩個不同的點 p 與 q，都存在不相交的開集 U 與 V，使得 p 在 U 中、q 在 V 中。等價地，不同的點擁有不相交的鄰域。這個條件溫和卻影響深遠：正是它使極限表現良好。

在豪斯多夫空間中，序列（以及網）的極限是唯一的——收斂序列不可能同時悄悄逼近兩個不同的點——並且每個緊子集都是閉集，每個有限集都是閉集。沒有豪斯多夫公理，怪事就會發生：在平庸拓撲中每個序列都收斂到每個點，於是極限模糊得無可救藥。每個度量空間都是豪斯多夫的（取半徑為距離一半的球），這正是分析學家很少遇到非豪斯多夫空間的原因，但該公理確實是一條額外的假設，而非定理。