度量空間

度量空間無非是一堆點，再配上一條測量它們之間距離的規則。一旦你能說出兩樣東西相距多遠，海量的分析便隨之而來：你可以談論點的接近、序列的收斂、集合的開或閉，而完全無需提及座標或面積公式。

嚴格地說，度量空間是一對 (X, d)，其中 X 是集合，d 是 X 上的度量。同一個底層集合透過選取不同的度量可以變成不同的度量空間，所以嚴格而論度量是資料的一部分，而非附屬品。X 的點不必是數——它們可以是函數、序列、矩陣或幾何圖形，只要定義了合理的距離即可。

度量空間是微積分中那些 epsilon 論證的自然歸宿，並遠遠超出實數軸。我們熟悉的命題——若對每個 epsilon > 0 最終都有 |x_n - L| < epsilon 則 x_n 收斂到 L——只需把 |x_n - L| 換成 d(x_n, L)，便逐字成為度量空間中收斂的定義。這正是度量空間從普通微積分通向抽象分析的橋梁。