拓撲

「拓撲」一詞有兩層相關含義。作為一門學科，它研究在連續形變——拉伸、彎曲、扭轉，但絕不切割或黏合——之下保持不變的性質。作為附著在集合上的一組資料，拓撲就是「哪些子集被宣布為開集」的確切清單，正是這份清單把集合變成拓撲空間。

具體地說，集合 X 上的一個拓撲是 X 的子集所組成的族 T，它包含空集與 X，對任意聯集封閉，並對有限交集封閉。這三條封閉性就是全部定義；點集拓撲中其餘一切都建立在它們之上。

「任意聯集」與僅限「有限交集」之間的不對稱是刻意為之且至關重要的。若允許任意交集，整套理論就會崩塌：在實直線上，所有開區間 (-1/n, 1/n)（n = 1, 2, 3, ...）的交集是單點集 {0}，而它並不是開集。有限交集規則恰恰阻止了單點被迫成為開集。