子空間拓撲

當你從一個更大的空間中切出一個子集時，它理應從周遭繼承一種「開」的觀念，而非從零開始。子空間拓撲正是這樣做的：子集中的一塊算作開集，如果它是某個環境開集落在該子集內的那一部分——整體的開集與這一部分相交。

嚴格地說，若 (X, T) 是拓撲空間、A 是 X 的子集，則 A 上的子空間拓撲由一切形如 U ∩ A 的集合組成，其中 U 在 X 中是開集。這確實是 A 上的一個拓撲，並使 A 到 X 的包含映射連續；它是使之連續的最小拓撲。

至關重要的微妙之處在於：「開」與「閉」是相對於你所處的環境空間而言的。一個集合可以在 A 中是開的而在 X 中不是開的——半開區間 [0, 1) 作為 [0, 2] 的子集是開的（它等於 (-1, 1) ∩ [0, 2]），儘管它在整條實直線中不是開的。所以永遠要問「在哪個空間中開？」好消息是，A 的緊性與連通性不依賴於環境空間，因為它們是內蘊的，但開性與閉性總是依賴於環境。