蒂勒微分方程（Thiele's differential equation）
/ TEE-luh /
想像你連續地、一秒一秒地觀察一張保單的準備金，而不是一年才看一次。在每一瞬間，有三件事在牽動準備金：準備金正在賺取利息、保費正在流入，並且時刻存在一份微小的風險——必須賠付一筆賠款。蒂勒微分方程就是在這三種力作用下、準備金在每一瞬間如何變化的精確規則——它是逐年準備金遞推式的連續時間版本。
準確地說，對於連續繳費的保單，方程指出：準備金 V(t) 的變化率，等於賺取的利息，加上收到的保費，減去為當下身故者支付（給付與當前準備金之差）的期望成本。用符號表示，dV/dt = delta * V(t) + P(t) - mu(x+t) * (b(t) - V(t))，其中 delta 是利息力，P(t) 是保費率，mu 是死亡力，b(t) 是給付。最後一項是瞬時的「保險成本」：每發生一次身故，保險公司必須把準備金補足到全額給付，而這份風險淨額（b - V）每單位時間花費 mu。
蒂勒方程由丹麥精算師 T. N. Thiele 於 1875 年提出，是現代生命相依理論的理論支柱，也是多狀態馬爾可夫模型的天然語言——在那裡每個狀態都寫出一條這樣的方程。實務中準備金通常仍由離散遞推式計算，或通過對蒂勒方程做數值積分來求解，但這個方程給出了準備金為何移動的最清晰概念圖景：它把三個驅動因素（利息、保費、死亡風險）分成三個乾淨的項，揭示了每一筆準備金內部的引擎。
在準備金為 1.5 萬元、給付 10 萬元、利息力 0.04、保費率每年 700 元、死亡力 0.012 的某一瞬間，準備金的變化率為 dV/dt = 0.04*15000 + 700 - 0.012*(100000 - 15000) = 600 + 700 - 1020 = 每年 280 元。
準備金變化 = 利息 + 保費 - 風險淨額上的死亡成本。
死亡項作用於風險淨額（給付減去準備金），而非全額給付——因為準備金已經預留好了，只有缺口部分需要由當期死亡費用來補足。