準備金遞推公式（recursive reserve formulas）

與其每年從頭開始、把全部未來現金流相加來重算準備金，你可以讓它一步一步地增長，就像更新銀行餘額：取去年的準備金，加上今年的保費，讓它賺取利息，然後為當年身故的人賠付，再把剩下的分攤給存活者。準備金遞推公式就是這些一步一步的規則，把一年年初的準備金變成年末的準備金。

準確地說，完全離散保單的基本遞推式說：（第 t 年年初的準備金 + 當年淨保費）按利息累積一年 (1+i)，必須夠支付當年身故者的身故給付，加上存活者所需的準備金。用符號表示，(t-V + P)(1+i) = q_(x+t) * b + p_(x+t) * (t+1)-V，其中 q 是死亡概率，p = 1 - q 是生存概率，b 是給付。這句話是說：結轉的錢按利息增長後，恰好夠支付賠款並重新建立下一年的準備金。重新整理後，它清晰地把當年的「保險成本」與構築準備金的「儲蓄」分開。

這些遞推式正是生產軟件中實際計算準備金的方式——它們快速、數值穩定，並揭示了一個保單年度的內在機制（計入的利息、死亡費用、準備金的累積）。它們還可推廣到多狀態和多重失效模型。這同一個平衡式的連續時間極限，就是 Thiele 微分方程。唯一需要理清的是時間約定（保費在年初、給付在年末），因為把利息、保費和身故的順序弄錯，正是準備金出現差一期錯誤的經典原因。