張量變換律（tensor transformation law）
設兩個人用不同的座標網格描述同一片空間——一人用 x 座標，另一人用帶撇的 x' 座標，也許是極座標對笛卡爾，也許是兩個不同的運動標架。對同一物理量，他們讀出的分量陣列會不同。張量變換律正是說明一方分量如何換算成另一方的精確規則。它精確地陳述了一個量成為張量意味著什麼：不只是帶有指標，而是其指標按這一特定方式變化。
配方依指標位置而定。每個上（逆變）指標按新座標對舊座標的偏導數因子變換，partial x'^a / partial x^i，每個下（協變）指標按其逆因子變換，partial x^j / partial x'^b。於是對 (1,1) 型張量，變換律為 T'^a_b = (partial x'^a / partial x^i)(partial x^j / partial x'^b) T^i_j，對 i 與 j 求和。那些偏導數矩陣就是座標變換的雅可比及其逆。(p, q) 型張量獲得 p 個雅可比因子與 q 個逆雅可比因子。由於上、下因子互逆，把一個上指標與一個下指標縮併會使這兩個因子相消——這正是縮併產生低一階張量、而完全縮併產生所有觀察者都認同的真標量的原因。
這條律法是張量微積分的守門人，也是物理中廣義協變的引擎。若一個候選方程兩邊寫成同階張量且自由指標相同，變換律便保證：它若在一個座標系成立，便在每個座標系成立——於是單次推導一舉確立一條在所有標架中都成立的自然律。其反面是標準的警示故事：像克里斯托費爾符號、以及張量的普通偏導數這類對象不滿足此律（它們沾上多餘的非張量項），這恰恰是為什麼必須發明協變導數，把偏導數修補回張量。
逆變向量按 V'^a = (partial x'^a / partial x^i) V^i 變換；協變向量按 W'_b = (partial x^j / partial x'^b) W_j 變換。把它們縮併：V'^a W'_a = (partial x'^a / partial x^i)(partial x^k / partial x'^a) V^i W_k。兩個雅可比因子塌縮為 delta^k_i，剩下 V^i W_i——在兩個標架中是同一個標量。
相反的變換因子在縮併時相消——這就是完全縮併的張量是真標量的原因。
這條律法就是定義：「它是不是張量？」意思是「它的分量是否遵守這條確切的變換規則？」。張量的普通偏導數不滿足它（冒出額外的二階導數項），這正是協變導數存在的全部理由。