協變導數（covariant derivative）

求導是把鄰近兩點的量相比、再除以間距。這在平直笛卡爾座標中運作得很漂亮，但它悄悄假定你能靠相減分量來比較兩個不同點處的向量。在彎曲空間中，乃至在用曲線座標的平直空間中，兩點處的基向量指向不同，所以天真的逐分量相減把向量的真實變化與基的擺動攪在了一起。協變導數就是那個修好的導數，它只減去真正的變化——尊重幾何的求導。

它通過加上一個由克里斯托費爾符號構造的修正項來做到這點。對逆變分量為 V^i 的向量場 V，沿座標 j 方向的協變導數是 (nabla_j V)^i = partial_j V^i + Gamma^i_{jk} V^k，對 k 求和。第一部分是分量的普通偏導數；第二部分，克里斯托費爾修正，恰好抵消來自旋轉基的虛假變化。對協變分量，修正以負號進入：(nabla_j W)_i = partial_j W_i - Gamma^k_{ji} W_k。回報是決定性的：不像裸偏導數，張量的協變導數本身是張量，所以用 nabla 寫出的方程在每個座標系中都成立。標準（列維-奇維塔）聯絡的一個定義性質是度規相容性：度規的協變導數為零，nabla g = 0，這意味著升降指標與求導可交換。

協變導數是彎曲空間微積分的核心操作。它把梯度、散度與方向導數推廣到曲面與時空；它定義平行移動（當向量沿路徑的協變導數為零時，它被「盡可能直地」攜帶）；測地線方程不過是一條曲線對自身切向作平行移動的陳述；迭代它便產生黎曼曲率張量，因為二階協變導數不可交換正是曲率。唯一誠實的告誡：協變導數需要一個聯絡（克里斯托費爾符號的一種選擇），而在黎曼流形上度規挑出唯一一個自然的聯絡——但這一操作不只是「偏導數加個湊數項」；修正項是由結果須按張量變換這一要求強制確定的。