測地線（geodesic）
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在平面上，兩點間最短的路線是直線，而直線也是你完全不轉方向盤走出的路徑。在彎曲曲面上，最短與最直這兩個想法仍指向同一類特殊曲線，稱為測地線。一架客機沿最短航線從一座城市飛往另一座，走的是大圓，它在平面地圖上看起來詭異地彎曲；那條大圓就是球面的測地線。
把測地線釘死有兩種等價方式，兩個都值得記住。「最直」的定義：測地線是對自身切向作平行移動的曲線——它在曲面內從不側向加速，所以其協變加速度為零。這給出測地線方程 d^2 x^k/ds^2 + Gamma^k_{ij} (dx^i/ds)(dx^j/ds) = 0，其中 s 是弧長，克里斯托費爾項計入空間的彎曲。「最短」的定義：測地線是長度泛函（ds 的積分）在其端點之間的駐點——對該長度積分應用變分法的歐拉-拉格朗日方程，重現的正是同一個測地線方程。所以測地線同時是局部長度極值曲線與無轉向曲線，是變分觀點與微分觀點的美妙巧合。
測地線是彎曲空間裡對直線的替代，且無處不在：地球上的大圓（長途航班規劃的基礎）、披在地形上的最短纜線路徑、廣義相對論中光與自由下落物體的軌跡（行星繞日是因為它沿彎曲時空的測地線——引力是幾何，而非力）、以及眾多機器人與圖形問題中的最優軌跡。兩點誠實告誡：「測地線」意為局部極值，未必整體最短——球面上沿大圓繞遠的那條仍是測地線，卻是兩點間較長的路線；且測地線一般只在足夠接近的兩點間才是最短路徑，而在相距較遠的兩點間，它可能是長度的鞍點，或幾條相互競爭的測地線之一。
在球面上，測地線恰是大圓——其圓心與球心重合的圓，如赤道或任一條經線。從紐約到東京的航班沿大圓飛行，那條大圓向北彎近北極，比麥卡托地圖上看似筆直的線更短，儘管地圖讓它看起來像繞了遠路。
大圓是球面的測地線——平面地圖上「彎曲」的航線實際上是最短路線。
測地線是局部最直、局部最短的，但未必整體最短：大圓的長弧是完全合格的測地線，卻是繞遠的那條。而最直（協變加速度為零）是更基本的定義，因為即便度規符號不定（如相對論中），它仍有意義。