度規張量（metric tensor）

幾何始於你能度量之時：這支箭頭多長，這兩個方向夾多大角，這兩個鄰近點相距多遠。在帶笛卡爾軸的平面上，這些問題有人們熟悉的勾股答案。但在球面上、在極座標裡、或在彎曲時空中，座標差與真實距離之間的關係不再簡單——而度規張量正是把這一關係逐點存儲起來的對象。

具體說，度規是一個對稱的 2 階協變張量 g_{ij}。它的核心職責是通過線元 ds^2 = g_{ij} dx^i dx^j，把座標位移變成真實的長度平方。對角元 g_{ii} 拉伸各座標方向，非對角元 g_{ij} 記錄座標軸有多不垂直。更一般地，g 定義任意兩向量的內積，u dot v = g_{ij} u^i v^j，所以它同時給出長度與角度。在平直笛卡爾空間中 g_{ij} 就是單位陣（故 ds^2 = dx^2 + dy^2 + dz^2）；在二維極座標中它是對角陣 [1, 0; 0, r^2]，這就是為什麼一個角度步長 d(theta) 貢獻的真實弧長是 r d(theta)，而不只是 d(theta)。逆矩陣 g^{ij} 在 g 非退化處存在，而 g_{ij} 與 g^{ij} 這一對就是升降指標的機器。

度規是微分幾何與廣義相對論中最重要的單一對象。一旦有了 g，你就能算曲線長度、面積、角度、克里斯托費爾符號、測地線，乃至曲率——一切幾何都是度規的下游。在愛因斯坦理論中，時空的度規就是引力場：物質與能量告訴度規如何彎曲（愛因斯坦場方程），彎曲的度規又告訴物質如何沿測地線運動。一個值得誠實說明的微妙之處：在相對論中度規不是正定的，而是混合符號（一時三空），所以 ds^2 可正、可負、可零——區分類時、類空與類光的間隔。