升降指標（raising and lowering indices）

一旦你接受向量有兩副面孔——帶上指標的逆變分量 v^i 與帶下指標的協變分量 v_i——你就需要一種在二者間轉換的辦法。升降指標就是這種轉換。它有時被戲稱為「指標體操」，因為實操中看似隨意地把指標上滑下滑，但其底層是由度規張量執行的精確幾何操作。

度規負責降指標：v_i = g_{ij} v^j，對 j 求和。逆度規負責升指標：v^i = g^{ij} v_j，其中 g^{ij} 是 g_{ij} 的矩陣逆（由 g^{ik} g_{kj} = delta^i_j 定義）。對任意張量、任意單個指標同理：與 g 縮併把指標壓下去，與逆度規縮併把它頂上來，其餘指標保持不動。在平直笛卡爾空間度規是單位陣，所以升降什麼也不做，上下之分塌縮——這正是你在初等向量微積分裡從未遇到此操作的原因。在極、球或彎曲座標中度規非平凡，所以降一個分量是真的在重新標度它（例如，把一個角分量在降下來的路上乘以 r^2）。

這一操作是張量代數的結締組織。它讓你把像動能項 g_{ij} v^i v^j 這樣的縮併緊湊地改寫成 v_i v^i；把梯度（天然是餘向量 partial_i phi）轉成你能沿之上坡的梯度向量（g^{ij} partial_j phi）；在相對論中，它就是你在逆變四速度與其協變伙伴之間切換的方式。要守住的紀律是：把同一指標先升後降必須回到原處，且一個指標一旦在一上一下的對中被求和，就不應被隨意升降。一個微妙之處：在度規不定的空間（相對論）中，降指標可能翻轉符號，所以 v_0 與 v^0 可能差一個負號。