張量（tensor）
標量是一個不在乎你把座標軸指向何方的數——溫度、質量、電荷。向量是一支在你選座標軸之前就存在的箭頭；選定一個標架，它便向你展示分量。張量是這一觀念的自然延續：一個獨立於座標而存在的幾何對象，可一旦選定標架，它便以一組帶若干指標的分量陣列示人。標量是 0 階張量，向量與餘向量是 1 階，度規與應力張量是 2 階，依此類推。
確切地說，(p, q) 型張量是一台多線性機器：它有 p 個上槽與 q 個下槽，吃入 q 個向量與 p 個餘向量，返回一個數，並對每個輸入都線性。它的分量帶 p 個上指標與 q 個下指標，如 T^{ij}_k。其定義性質不是那組數本身，而是當你切換座標時這組數如何變化：每個上指標按新對舊映射的雅可比變換，每個下指標按逆雅可比變換（張量變換律）。這條規則就是張量身份的檢驗標準。同一對象在不同標架下的分量是不同的陣列，但它們都編碼同一個與標架無關的東西；任何寫成「張量 = 張量」且指標結構匹配的方程，自動在所有標架中同時成立。
每當一個物理量具有超出單一箭頭的方向結構時，張量便是恰當的語言：樑中的應力（單位面積上的力依賴兩個方向——面與力）、變形固體中的應變、剛體的轉動慣量、電磁場，尤其是廣義相對論中時空的度規與曲率。它全部的魅力在於：把物理寫成張量方程，保證物理定律在每個座標系中看起來都一樣——廣義協變原理。常見的新手陷阱：一串帶指標的數並不自動就是張量；例如克里斯托費爾符號帶有指標，卻不按張量方式變換，所以它不是張量。
固體中的應力張量 sigma^{ij} 是 2 階：sigma^{ij} 是作用在外法向指向第 j 方向的那個面上、單位面積力的第 i 個分量。把任一曲面的單位法向 n_j 餵給它，它便返回牽引向量 t^i = sigma^{ij} n_j——對每個朝向、由同一個對象給出的、該面上真實的單位面積力。
2 階張量是一台把方向變成向量的機器——這裡把曲面法向變成其牽引力。
帶有指標並不使某物成為張量；變換律才決定。聯絡係數（克里斯托費爾符號）帶有指標，但在座標變換下多出一個非齊次項，所以它們斷然不是張量。