逆變與協變分量（contravariant and covariant components）

隨手取一個向量，試著用數把它描述出來。你需要一個標架——一組基方向——而這些數就是向量在該標架下的分量。但讀取分量有兩種自然方式，在斜的或彎曲的標架中它們並不一致。一種方式用平行投影把向量投到基方向上（你要疊多少個各基箭頭才能拼出該向量）；另一種讀取向量投到基方向上的垂直影子。它們分別給出逆變分量與協變分量，各以上指標與下指標書寫。

之所以有兩種，更深的原因是它們屬於兩類不同（但相聯）的對象。逆變分量 v^i 配普通向量——位移、速度、箭頭——它們與基的變換相反：若你把尺縮小（基向量變小），描述同一箭頭的數就必須變大，故稱「逆」。協變分量 v_i 配餘向量——梯度、等值面、那種吞入一個向量返回一個數的東西——它們與基的變換相同（「協」）。在正交歸一的笛卡爾標架裡兩組數恰好重合，這就是初等課程從不區分它們的原因；但一旦基非正交歸一或隨位置而變（極座標、球座標、彎曲時空），它們便分道揚鑣。度規張量 g_{ij} 正是二者之間的詞典：v_i = g_{ij} v^j 把指標降下，其逆把指標升上。

這一區分是張量微積分的脊樑。標量的梯度天然是協變的（其分量是偏導數，隨基變換），而位置位移天然是逆變的；把一上一下配對的縮併，如 v^i w_i，產生一個與座標無關的數——一個真正的幾何標量。忘了自己手上拿的是哪一種，是經典的新手錯誤：在平直空間裡你能矇混過關，但在彎曲空間或非笛卡爾座標中，它會給出錯誤公式，因為用度規升降指標不再是什麼都不做的操作。