第一基本形式（first fundamental form）
設你是一隻生活在彎曲曲面上的螞蟻——球面、柱面、馬鞍面——你只能沿它爬行，看不見周圍的三維空間。你還能度量什麼？你能度量沿所走路徑的距離、方向之間的夾角、以及小塊的面積。第一基本形式就是這一切內蘊度量的完整記錄：它是曲面自己的尺子，承自它在空間中的置放方式，卻完全可以從內部使用。
具體說，取由參數化 r(u, v) 描述的曲面。參數中的一小步 (du, dv) 在曲面上產生真實位移 dr = r_u du + r_v dv，該位移的長度平方是 ds^2 = E du^2 + 2F du dv + G dv^2，其中 E = r_u dot r_u，F = r_u dot r_v，G = r_v dot r_v。此式即第一基本形式，常記作 I。三個係數 E, F, G 恰是曲面度規張量 g_{ij} 在 (u, v) 座標下的分量：E 與 G 是對角元，F 是非對角元，F = 0 恰當座標曲線成直角相交時成立。僅憑 I，你就能算弧長（對 I 的平方根積分）、角度（通過它所編碼的點積）、與曲面面積（積分 sqrt(EG - F^2) du dv）。
第一基本形式是曲面內蘊幾何的基石。一個居住者不離開曲面就能確定的一切——測地線（最短路徑）、高斯曲率（憑高斯著名的絕妙定理）、平行移動、三角形的內角和——都可由 I 及其導數算出。這是通往黎曼幾何與廣義相對論的概念橋樑：時空也只能通過其度規來認知，外面沒有更高維空間可供俯瞰。要分清的誠實區別：第一基本形式只捕捉內蘊數據（曲面如何度量自身）；曲面在周圍空間中如何彎曲，是由第二基本形式攜帶的外蘊信息，而 I 對此一無所知。
一張平紙與捲起的圓柱面有相同的第一基本形式（捲曲不拉伸紙），所以螞蟻靠在曲面上測距離與角度無法把它們區分開。這就是為什麼你能把紙捲成圓柱而不撕不皺——也是為什麼球面的平面地圖無法不失真，因為球面的 I 與平面的 I 確實不同。
紙與圓柱共享同一個 I——內蘊幾何相同——儘管它們在空間中彎曲方式不同。
第一基本形式只編碼內蘊幾何；平面與彎曲的圓柱共享它。曲面在環境空間中凸起還是凹陷是外蘊的，存於第二基本形式——然而值得注意的是，高斯曲率竟是內蘊的，僅憑 I 即可算出。