高斯曲率與平均曲率（Gaussian and mean curvature）
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在曲面任一點，把兩個主曲率（你朝不同方向看時找到的最急與最緩的彎曲）組合起來有兩種自然方式：相乘，或取平均。相乘得高斯曲率 K = kappa_1 kappa_2；取平均得平均曲率 H = (kappa_1 + kappa_2)/2。這兩個數以不同方式概括曲面在一點如何彎曲——它們回答的是很不一樣的問題。
高斯曲率 K 是乘積，僅憑其符號便道出局部形狀：K > 0 表示兩個主曲率朝同向彎，曲面呈穹頂或碗狀（球、蛋）；K < 0 表示二者反向彎，是馬鞍（薯片、山口）；K = 0 表示至少一個主曲率為零，曲面在某方向是平的（平面、圓柱、圓錐）。驚人的事實是高斯的絕妙定理：K 是內蘊的——它可純由第一基本形式算出，所以生活在曲面上的平面螞蟻僅靠測距離與角度便能確定 K，根本無需知道曲面嵌在三維裡。平均曲率 H 則相反，是外蘊的：它依賴曲面在空間中的置放，翻轉法向時變號。H = 0 刻畫極小曲面——肥皂膜為最小化面積而採取的形狀。
K 與 H 之分貫穿幾何與物理。K 支配內蘊事實：正曲率曲面上三角形的內角和大於 180 度；高斯-博內定理把曲面上 K 的總量與其拓撲（孔洞數）相聯，是從局部曲率通往整體形狀的驚人橋樑；地球無法畫出無失真平面地圖，不過是球面的 K 非零而紙的 K 為零。H 驅動界面物理：表面張力使肥皂膜停在 H = 0，而楊-拉普拉斯定律說彎曲液面兩側的壓差正比於 H。一個值得指出的常見混淆：圓柱 K = 0（它內蘊是平的，你能把它展開），可 H 非零（它顯然在彎）——證明兩種曲率確實彼此獨立。
半徑 R 的球面兩個主曲率都等於 1/R，故 K = 1/R^2（處處為正、每點相同），H = 1/R。平面 K = 0、H = 0。半徑 R 的圓柱主曲率為 1/R 與 0，得 K = 0 但 H = 1/(2R)：像紙一樣內蘊平直，卻外蘊彎曲——這是 K 與 H 量度不同事物的最乾淨示範。
圓柱：K = 0（可展開、內蘊平直）但 H 非零（明顯在彎）——二者獨立。
高斯曲率 K 是內蘊的（絕妙定理），在不拉伸的彎曲下保持不變；平均曲率 H 是外蘊的，彎曲曲面或翻轉法向時會改變。把二者混淆——例如因為圓柱「看起來彎」就以為它有非零高斯曲率——是經典錯誤。