曲線的曲率與撓率（curvature and torsion）
兩個數幾乎道盡一條曲線在某點如何置身於空間：它彎得多急，以及它扭出當下所處平面多少。開車繞一個窄環島，你感到強烈的曲率；開車上一條螺旋停車坡道，在彎曲之上你還感到一種擰動的、離面的扭轉——那就是撓率。曲率 kappa 與撓率 tau 是這兩種效應的精確量度。
曲率 kappa 量度單位切向沿每單位行進長度轉動多快：kappa = dT/ds 的模，其中 s 是弧長。直線 kappa = 0；半徑 R 的圓有常數 kappa = 1/R，所以越小的圓越彎。其倒數 1/kappa 是曲率半徑——在該點最貼合曲線的圓（密切圓）的半徑。撓率 tau 量度曲線所在平面（由 T 與 N 張成的密切平面）隨你移動傾斜多快；等價地說副法向 B = T cross N 旋轉多快，由 dB/ds = -tau N 給出。平面曲線處處 tau = 0，因為它從不離開其平面。對曲線 r(t) 有一組乾淨的計算公式：kappa = (r' cross r'') 的模除以 (r') 模的三次方，tau = (r' cross r'') dot r''' 除以 (r' cross r'') 模的平方。
這些不變量是曲線局部理論的核心：曲線基本定理說，兩個函數 kappa(s) > 0 與 tau(s) 在剛體運動意義下唯一確定一條空間曲線，所以曲率與撓率是形狀的完整指紋。實踐上，曲率支配道路與鐵路設計中的舒適與安全（kappa 的突變引起顛簸，所以工程師插入 kappa 平滑過渡的緩和曲線），它決定樑中的彎曲應力以及透鏡與反射鏡的聚焦，撓率則描述 DNA 的超螺旋與纜繩和彈簧的扭轉。誠實的提醒：kappa 與 tau 是逐點（局部）量——它們描述曲線在無窮小鄰域內的樣子，對曲線是否閉合或打結這類整體特徵不作直接陳述。
平鋪在桌面上、半徑 R 的圓有常曲率 kappa = 1/R 與零撓率（它從不離開桌面所在平面）。加上穩定的豎直上升把它抬成螺旋線，撓率便變為非零——曲線如今擰出每一個瞬時平面。曲率回答「彎得多緊？」，撓率回答「它離開紙面多少？」。
曲率是平面內的彎曲；撓率是逃離平面。圓只有前者。
不要把曲線的撓率（一個扭出平面的數）與曲面的高斯曲率或空間的曲率混淆——它們是不同的概念。而 tau 的符號編碼右旋還是左旋的扭轉，所以它攜帶定向資訊，不像 kappa 取非負。