第二基本形式（second fundamental form）
第一基本形式是曲面上的螞蟻從內部能度量的東西；第二基本形式是上方飛翔的鳥能看見、而螞蟻看不見的東西——也就是曲面如何離開自身的切平面、彎入周圍空間。站在曲面一點，鋪下恰好在那裡相切的平坦切平面，看曲面隨你朝不同方向移動如何從該平面剝離。這一剝離，正是第二基本形式所記錄的。
確切地說，設 n 是曲面某點的單位法向。當你邁出一小步 (du, dv)，曲面離開其切平面，其主導行為是二次型 II = L du^2 + 2M du dv + N dv^2，其中 L = r_uu dot n，M = r_uv dot n，N = r_vv dot n（這些分量量度曲面的二階導數沿法向的成分）。把一個切方向餵給 II，便量出該方向上的法曲率——朝那個方向走時曲面在空間中彎得多急。主曲率 kappa_1 與 kappa_2 是最大與最小的這種法曲率，在相互垂直的主方向上取得；它們是形狀算子（由 II 與 I 共同構造的線性映射）的本徵值。由它們便得到曲面兩個著名的曲率。
第二基本形式是外蘊曲率的載體——曲面形狀中依賴於它如何嵌入、而不只依賴內部度規的那部分。它把平紙（II = 0，不彎入空間）與捲起的圓柱（朝一個方向彎，II 非零）區分開，儘管二者共享同一個第一基本形式。它支配光如何從曲面鏡反射、薄殼或薄膜如何抵抗彎曲、肥皂膜如何平衡表面張力（極小曲面恰是那些平均曲率為零者，這是關於 II 的陳述）。深刻的對照是高斯的絕妙定理：儘管 L, M, N 是外蘊的，給出高斯曲率的那個特定組合竟是內蘊的——單純彎曲而不拉伸，無法改變它。
在像 z = x^2 - y^2 的馬鞍面上，你朝一個方向走時曲面上彎，朝垂直方向走時下彎。第二基本形式在這兩個主方向上符號相反，所以主曲率 kappa_1 與 kappa_2 異號——這是馬鞍（負高斯曲率）的標誌。在球面上兩個主曲率同號：它處處朝同一方向彎。
異號主曲率標記馬鞍；同號標記穹頂。II 讀取彎入空間的程度。
第二基本形式是外蘊的：它依賴所選單位法向的方向（翻轉 n 翻轉其符號）以及曲面在空間中的置放，不像內蘊的第一形式。其符號約定在不同教科書間不一，所以總要核對作者用的是哪個法向定向。