極小曲面（minimal surface）

把彎曲的金屬線圈浸入肥皂水再拉出來：張在線圈上的薄膜就是一個極小曲面。表面張力把膜拉緊，它安頓成在所有具有同一邊界的曲面中面積最小的形狀。變分問題是：給定一條固定的邊界曲線（金屬線），張在其上的哪個曲面面積最小？肥皂膜從物理上解它，變分法在紙上解它。

面積本身就是一個泛函。對於寫成區域上高度 z = u(x, y) 的曲面，面積是 sqrt(1 + u_x^2 + u_y^2) dx dy 的二重積分，其中 u_x、u_y 是偏導數。在邊界保持固定下使它最小，給出一個歐拉-拉格朗日方程——現在是一個偏微分方程，即極小曲面方程——其幾何含義令人印象深刻：極小曲面處處平均曲率為零。在每一點，曲面在一個方向上向上彎曲的量，恰好等於它在垂直方向上向下彎曲的量，於是兩個曲率相互抵消。這就是肥皂膜呈鞍形、絕不像氣球那樣鼓起的原因（氣球內部有壓強，平均曲率非零）。

最簡單的非平凡例子是懸鏈面（catenoid），即把懸鏈線旋轉所得的旋轉曲面；它是張在兩個同軸圓環上的極小曲面，也是肥皂膜在兩個圓形線箍之間所取的形狀。極小曲面在建築（張拉織物屋頂用最小面積的膜）、材料科學（界面與泡沫）以及純幾何（極小曲面研究、普拉托問題，是一個深刻且至今活躍的領域）中都很重要。一個誠實的提醒：平均曲率為零是駐定條件，故極小曲面是面積的臨界點；當邊界框太寬時，張在其上的膜可能變得不穩定，不再是真正的面積最小者，儘管它仍滿足那個方程。