等周問題（isoperimetric problem）
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你有一段固定長度的籬笆。用它能圍住的田地面積最大是多少？這個自古已知、與狄多女王把牛皮割成細條的傳說相連的經典答案是圓：在所有給定周長的閉曲線中，圓圍住的面積最多。等周（周長相等）問題是帶約束變分問題的原型——在另一個泛函（周長，或長度）保持固定的同時，最佳化一個泛函（面積）。
要緊的是它的結構：你在固定長度約束下最大化一個面積泛函。工具是泛函的拉格朗日乘數：你構造一個合併被積函數（面積被積函數）減去 lambda 乘（長度被積函數），對這個組合應用歐拉-拉格朗日方程，那個唯一的未知常數 lambda 隨後由長度約束確定下來。在平面上把它做完，給出一條曲率為常數的曲線——半徑由 lambda 決定的圓。與之相伴的等周不等式把它表述為一個乾淨的界：對任何閉平面曲線，4 pi 乘面積至多等於周長的平方，等號僅對圓成立。
「等周」這個名字此後成了任何帶積分約束的變分問題的通用標籤，即便其中並不涉及周長——懸鏈（懸鏈線）問題，即在固定長度下最小化能量，從廣義上說就是一個等周問題。圓的結論推廣到高維（球面在給定表面積下圍住最多體積，這就是氣泡是圓的、以及被引力聚攏的行星近乎球形的原因），並支撐著幾何分析的許多內容。一個誠實的說明：等周極值曲線滿足乘數方程，但你仍須確認它是最大者（而非最小者或鞍點）——這裡圓確實是最大者，但單憑歐拉-拉格朗日這一步並不能證明它。
用 100 米籬笆，圓圍住約 796 平方米（半徑 100/(2 pi) ≈ 15.9 米），而同周長的正方形只圍住 625 平方米。同樣的籬笆，更多的地——圓勝出，恰如等周不等式所預言。
在固定周長下圓圍住最大面積；正方形不及。
「等周問題」如今是任何帶積分約束的變分問題的統稱，不僅限於周長對面積。其定義特徵是用乘數處理的那個固定積分附加條件。