泛函的拉格朗日乘數（Lagrange multiplier for functionals）
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在普通微積分裡，要在約束成立的同時最佳化一個函數，你引入一個拉格朗日乘數——一個額外的數——並最佳化一個增廣函數。同樣的招數提升到泛函上。當你必須在第二個泛函（諸如固定長度、固定面積或固定總量的附加條件）保持常數的同時使一個泛函駐定時，你引入乘數 lambda，構造一個把兩者捆在一起的合併泛函。這就是每個等周問題背後的法則。
具體地說，要在 K[y] = 對 G dx 積分等於某固定值的約束下使 J[y] = 對 L dx 積分駐定，你寫下合併被積函數 L - lambda G，並把它當作無約束那樣應用普通的歐拉-拉格朗日方程。常數 lambda 作為未知量一路攜帶；你解歐拉-拉格朗日方程得到極值曲線族，再用約束 K[y] = 固定值來確定 lambda（以及任何積分常數）。乘數不只是記帳——它帶有物理意義，常常是一個強制約束成立的力、壓強或張力，恰如有限維乘數量度最優對放鬆約束的敏感度。
懸鏈（在固定長度下最小化能量）、肥皂泡形狀（在固定體積下最小化面積，給出球，lambda 扮演壓強的角色）、以及最大面積圍欄（圓）都是這樣解出的。從有限維情形帶過來的一個誠實提醒：該法則要求約束「非退化」——約束泛函自身的變分在極值曲線處不應為零（否則你可能落在反常點上，簡單的乘數法則在那裡失效）。實踐中，對那些經典問題這個條件成立，乘數法是穿越帶約束變分的乾淨、可靠的途徑。
要在固定周長 P[y] = L 下最大化所圍面積 A[y]，構造合併被積函數（面積密度）- lambda（弧長密度），並應用歐拉-拉格朗日方程。極值曲線結果具有常曲率 1/lambda——一個圓——而周長條件確定 lambda，從而確定半徑。
用一個乘數 lambda 把目標與約束捆在一起，求解，再讓約束確定 lambda。
泛函的乘數 lambda 是單個常數，而非函數——附加條件是一個全局積分約束。逐點約束（在每個 x 處都成立）則需要一個乘數函數 lambda(x)，那是不同且更複雜的設置。