變分法
懸鏈線問題（catenary problem）
/ KAT-uh-ner-ee /
鬆鬆地抓住一條柔軟的鏈子或項鍊的兩端，讓它垂下。它會安頓成什麼形狀？不是人們常猜的拋物線，而是一條叫懸鏈線的特殊曲線（來自拉丁文「鏈」）。大自然自動選這個形狀，是因為在所有連接兩個支點、長度固定的曲線中，它的質心垂得盡可能低——重力使勢能最小，而這個最小化是一個變分問題。
一條重鏈的勢能正比於 對 y 乘（弧長元）的積分 = 對 y sqrt(1 + y'^2) dx 積分，其中 y 是高度。你要在總長度——對 sqrt(1 + y'^2) dx 積分——固定的約束下使這個泛函最小，這正是一個等周（帶約束）變分問題，用拉格朗日乘數處理。對合併被積函數（它不顯含 x，故貝爾特拉米恆等式適用）的歐拉-拉格朗日方程給出雙曲餘弦：y = a cosh(x/a) + 常數。常數 a 由長度和支點間距確定。
懸鏈線在工程中無處不在。垂掛的電線、懸索橋的主纜（在自重下）、鏈條都呈這個形狀；而著名的是，把懸鏈線上下翻轉就得到理想的拱——倒懸鏈線以純壓縮承載，這就是高第等人用懸鏈模型設計自承式拱與穹頂的原因。值得點明的一個清晰提醒：純懸鏈線是僅受自重的鏈子的形狀。懸索橋橋面的重量沿水平跨度而非沿纜索分佈，會把纜索拉成拋物線——不同的載荷給出不同的曲線。
從兩根等高柱子上垂下的鏈子安頓成 y = a cosh(x/a)，從最低點度量。在底部附近 cosh(x/a) ≈ 1 + x^2/(2 a^2)，故懸鏈線在那裡看起來幾乎像拋物線——這正是拋物線猜測接近但不精確的原因。
垂掛的鏈子是雙曲餘弦，接近但不同於拋物線。
懸鏈線（cosh）只是僅受自重的鏈子。被均勻水平橋面加載的纜索——懸索橋——是拋物線而非懸鏈線；把兩者混淆是經典錯誤。
又稱
另見