歐拉-拉格朗日方程（Euler-Lagrange equation）
/ OY-ler la-GRAHNZH /
若一條曲線使某泛函取得最小或駐定，歐拉-拉格朗日方程就是該曲線必須滿足的微分方程。它是變分法裡與普通法則「令導數為零」相對應的東西。單變量微積分用一個代數方程回答「哪個點？」，變分法則用這個微分方程回答「哪條曲線？」。把它（連同邊界條件）解出來，就交給你候選的最優路徑。
對泛函 J[y] = 從 a 到 b 對 L(x, y, y') dx 積分，方程用文字說就是：（L 對 y' 的偏導）對 x 的導數，等於 L 對 y 的偏導。用緊湊符號寫作 d/dx 作用於 (dL/dy') = dL/dy，或等價地 dL/dy 減去 d/dx 作用於 (dL/dy') = 0。它直接來自一階變分：你擾動曲線，對 y' 項分部積分以暴露出單獨的 eta，基本引理便讓你丟掉積分。由於 d/dx 經鏈式法則展開會出現含 y'' 的項，這一般是關於 y(x) 的二階微分方程，連同兩個端點條件一起求解。
這一個方程是幾乎所有經典變分結果以及全部分析力學背後的主力。餵給它弧長被積函數，它返回直線；餵給它滑行時間被積函數，它返回最速降線（擺線）；餵給它力學拉格朗日量（動能減勢能），它返回牛頓運動定律。一個誠實的提醒：歐拉-拉格朗日方程的解只是一條極值曲線——一條駐定路徑。它是最優的必要條件，並不保證最優存在；你仍需二階變分，或物理與凸性論證，來確認真正的極小存在且確被取得。
對弧長，L = sqrt(1 + y'^2) 有 dL/dy = 0，故方程說 d/dx 作用於 (dL/dy') = 0，即 y'/sqrt(1+y'^2) 為常數。常斜率意味著 y' 為常數，於是 y 是直線——兩點間最短路徑，是推導出來而非假設的。
把弧長代入歐拉-拉格朗日方程，直線作為最短路徑自然得出。
當 L 不顯含 x 時，別去硬解完整的二階方程——貝爾特拉米恆等式給出一個容易得多的首次積分。並且記住：解是極值曲線，並不自動就是極小。