一階變分（first variation）
在普通微積分裡，你找極大或極小的辦法是把 x 輕輕挪動一點，看 f 是否發生一階變化；在峰或谷處這個一階變化為零。一階變分正是把這個想法提升到泛函上。你挪動的不是一個數，而是一整條曲線：把候選曲線 y(x) 換成一個擺動後的版本 y(x) + epsilon eta(x)，其中 eta 是一個任意的小凸起，在固定端點處為零，epsilon 是一個細小的旋鈕。一階變分量度泛函對 epsilon 的一階響應。
具體地說，一旦固定了凸起形狀 eta，J 就變成單變量 epsilon 的普通函數，即 g(epsilon) = J[y + epsilon eta]。一階變分，記作 delta J，就是導數 g'(0)——當你開始變形曲線時泛函的變化率。對 J[y] = 對 L(x, y, y') dx 積分把它算出來：先在積分號下求導，再分部積分把導數從 eta' 上剝離。結果是 delta J = 對 (dL/dy 減去 dL/dy' 對 x 的 d/dx) 乘 eta dx 積分，再加上一個被固定端點消去的邊界項。要使 y 讓 J 駐定，delta J 必須對每一個允許的凸起 eta 都為零。
一階變分是整個學科的引擎。令 delta J = 0 是令導數為零的對應物；與基本引理結合，它就逼出歐拉-拉格朗日方程。正如普通微積分裡那樣，delta J = 0 是極小或極大的必要條件，但本身並不說明究竟是哪一種——這個區別需要二階變分，即二階導數判別法的對應物。一階變分為零只標記出一條駐定路徑，也稱為極值曲線（extremal）。
取 J[y] = 從 0 到 1 對 (y'^2) dx 積分，y(0)=0, y(1)=1。則 g(epsilon) = 對 (y' + epsilon eta')^2 dx 積分，分部積分後（邊界項為零）g'(0) = 對 2 y' eta' dx 積分 = 對 -2 y'' eta dx 積分。要求它對所有 eta 為零，逼出 y'' = 0，故 y = x——直線。
擾動曲線，要求一階變化對每個擾動都為零，最優曲線隨之浮現。
delta J = 0 只定位出一條駐定路徑，未必是極小。該路徑在函數空間中可能是極大或鞍點；判定需要二階變分，正如普通微積分中由二階導數判別法來判定。