變分法基本引理（fundamental lemma of the calculus of variations）
算完一階變分後，你會得到這樣一句話：某個連續函數 M(x) 乘以任意凸起 eta(x) 的積分，對每一種凸起的選擇都為零。問題是這對 M 強加了什麼。基本引理給出了謹慎的答案：若對每個在兩端點處為零的光滑 eta，從 a 到 b 對 M(x) eta(x) dx 積分都等於零，則 M(x) 在整個區間上必恆為零。你可以把積分和 eta 都剝掉，直接令 M = 0。
看懂之後理由很直觀。設 M 在某處不為零——比方說在點 x0 處為正。由連續性，它在一個小鄰域上保持為正。現在巧妙地選一個凸起 eta：恰好坐落在那個鄰域上的小正包，其餘處為零（這樣的凸起存在，且完全光滑）。於是被積函數 M eta 在那裡為正、在外面為零，積分嚴格為正——與它對每個 eta 都為零的假設矛盾。唯一的出路是 M 本來就處處為零。竅門在於你被允許用每一種可設想的凸起來檢驗，這提供了大量資訊。
這條引理是把 delta J = 0 轉化為一個微分方程的邏輯樞紐。一階變分給出（歐拉-拉格朗日表達式）乘 eta 的積分；引理說，既然它對所有 eta 都為零，那麼歐拉-拉格朗日表達式本身就必須逐點為零。沒有引理，delta J = 0 只是一個取數值的條件；有了它，你才能提取出在曲線每一點都成立的完整方程。它是泛函的積分世界與微分方程的逐點世界之間小而不可或缺的橋樑。
若你知道對每個滿足 eta(0)=eta(1)=0 的光滑 eta，從 0 到 1 對 M(x) eta(x) dx 積分都為零，便可斷定對 [0,1] 中所有 x 有 M(x) = 0——你不能只得出更弱的結論，比如「M 平均為零」，因為檢驗凸起能隨意定位到任何地方。
對每個檢驗凸起都為零，逼得函數本身處處為零。
引理要求 M 連續（且檢驗凸起取遍足夠豐富的一類）。若 M 只對少數幾個特殊函數為零，並不能斷定 M = 0——全部的威力都來自用每一個允許的凸起去檢驗。