泛函（functional）
普通函數吃進一個數、吐出一個數：給它 x，它返回 f(x)。泛函則吃進一整個函數，吐出單獨一個數。想像兩座城鎮之間所有可能的道路；給每條路賦一個值——它的長度、球沿它滾下所用的時間、或一根彎成那個形狀的金屬絲中儲存的能量。這種賦值——每一整條曲線對應一個數——就是泛函。它是一台機器，輸入不是一個點，而是一條路徑。
本學科中大多數泛函都是積分。典型的一個是 J[y] = 從 a 到 b 對 L(x, y, y') dx 積分，其中被積函數 L（拉格朗日量，或稱運行代價）依賴於位置 x、曲線的高度 y(x) 及其斜率 y'(x)。要計算 J，你必須先手握整條曲線 y（連同斜率），然後沿它把 L 全部累加起來。方括號 J[y] 是標準記號，提醒你它的自變量是一個函數而非一個數。從 a 到 b 對 sqrt(1 + y'^2) dx 積分的弧長，就是最簡單的例子：它報告曲線 y 的長度。
泛函是變分法的核心對象，因為物理定律和工程中最優的設計幾乎總是斷言：某個泛函取得了盡可能小（或駐定）的值——最短時間、最小能量、最小作用量、最短路徑、最小曲面面積。問哪個輸入函數使泛函最小，是比普通最佳化大得多的搜索——未知量是一整條曲線，一個無窮維對象，而不是少數幾個數。這正是這個領域需要自己一套微積分的全部原因。
弧長泛函 J[y] = 從 0 到 1 對 sqrt(1 + y'^2) dx 積分，對直線 y = x 給出值 sqrt(2) ≈ 1.414，對拋物線 y = x^2 給出略大的值（約 1.479）。同一公式，不同的輸入曲線，不同的輸出數值。
泛函吃進一整條曲線，返回一個數；這裡是曲線的長度。
不要把泛函與複合函數或函數的取值混淆。泛函的自變量是一個在整個函數空間中變動的對象，正因如此，使其最小需要用變分而非普通導數。