哈密頓原理（Hamilton's principle）
/ HAM-il-tun /
牛頓通過逐刻推動來告訴你一個粒子如何運動：力等於質量乘加速度，在每一時刻施加。哈密頓原理用一種全然不同的語言——整體地、一次性地——告訴你同一個運動。在系統能在某一時刻的起始位形與之後某時刻的終止位形之間所取的一切可設想的路徑中，自然實際遵循的那條，是使單獨一個數（作用量）駐定的那條。系統是憑一個極值原理「選定」它整條軌跡，而非靠逐刻的推動。
作用量 S 是一個泛函：S = 對時間積分的拉格朗日量 L dt，其中對普通力學 L =（動能）減（勢能），即 T - V。哈密頓原理說：真實運動使 S 的一階變分為零，delta S = 0，在所有時間端點相同的固定路徑中取。把歐拉-拉格朗日機器用到這個作用量上，運動方程便冒出來。對單個粒子 L = (1/2) m v^2 - V(x)，歐拉-拉格朗日方程是 m x'' = -dV/dx，這正是牛頓第二定律。同樣的配方，配上正確的拉格朗日量，便生成擺、行星、場等等的動力學。
哈密頓原理的威力在於它不依賴坐標且具統一性。你用任何方便的坐標——角度、距離、旋轉參考系——寫下一個標量，即拉格朗日量，歐拉-拉格朗日方程便自動產生正確的運動方程，約束力與虛擬力都被優雅地處理。這就是分析力學、場論、乃至廣義相對論和粒子物理標準模型都被表述為「作用量駐定」的原因。一個誠實的澄清：流行的名字「最小作用量」言過其實——作用量是被弄成駐定的，僅在足夠短的時間區間上才真正是極小；時間較長時，真實路徑可能是作用量的鞍點而非極小。駐定，而未必最小，才是精確的說法。
對彈簧上的質量，L = (1/2) m x'^2 - (1/2) k x^2。作用量是 對 L dt 積分，delta S = 0 給出歐拉-拉格朗日方程 m x'' + k x = 0——簡諧運動，完全不用畫受力圖就得到了。
使作用量駐定，運動方程便出現——這裡是簡諧運動。
「最小作用量」是個誤稱：原理要求作用量駐定，delta S = 0，而非最小。真實路徑僅在足夠短的時間上才是極小；時間較長時它常是鞍點。