拉格朗日力學與哈密頓力學（Lagrangian and Hamiltonian mechanics）
/ la-GRAHN-jee-un, ham-il-TOH-nee-un /
拉格朗日力學與哈密頓力學是牛頓動力學的兩種重新表述，直接從變分法中生長出來。你不去追蹤矢量力，而是用標量能量函數描述整個系統，讓一個極值原理來完成工作。它們不是新物理——對普通力學，它們給出與牛頓完全相同的運動——但對複雜系統強大得多，而且是現代物理實際所用的語言。
拉格朗日力學從拉格朗日量 L = T - V（動能減勢能）出發，用任何方便的廣義坐標 q 寫出。哈密頓原理，即對 S = 對 L dt 積分有 delta S = 0，給出歐拉-拉格朗日運動方程，這裡稱為拉格朗日方程：對每個坐標 d/dt 作用於 (dL/dq') = dL/dq。哈密頓力學接著做一次變量替換，即勒讓德變換，用動量 p = dL/dq' 替換速度 q'，用哈密頓量 H =（p q' 之和）- L 替換 L，對標準系統 H 等於總能量 T + V。那個單一的二階拉格朗日方程裂為一對乾淨的一階方程：q' = dH/dp 和 p' = -dH/dq，稱為哈密頓正則方程。
為何要費心搞兩種重新表述？拉格朗日觀點使約束與對稱變得透明——選取尊重約束的坐標，不需要的力便消失，而 L 的每個連續對稱由諾特定理產生一個守恆律。哈密頓觀點在相空間（位置與動量合在一起）中工作，揭示動力學的幾何結構，驅動統計力學與混沌理論，並且是量子力學的發射台——在那裡哈密頓量成為能量算符。誠實的適用範圍：這些方法假設力來自勢（或以其他方式可寫進拉格朗日量）；真正耗散的力如滑動摩擦需要額外的機制，單純的 L = T - V 並不能捕捉它。
對長 l、角度 theta 的單擺，L = (1/2) m l^2 theta'^2 + m g l cos(theta)。拉格朗日方程給出 theta'' + (g/l) sin(theta) = 0。動量為 p = m l^2 theta'，哈密頓量 H = p^2/(2 m l^2) - m g l cos(theta) 是守恆的總能量。
一個標量拉格朗日量產生單擺方程；它的勒讓德變換給出能量。
僅對標準的「自然」系統（動能是速度的二次型、勢與速度無關、不顯含時間），H 才等於總能量 T + V。一般而言 H 是 L 的勒讓德變換，未必就是能量。