諾特定理（Noether's theorem）
/ NUR-ter /
為什麼能量守恆？為什麼動量守恆？為什麼角動量守恆？長久以來這些是各自獨立的經驗事實。諾特定理，由埃米·諾特（Emmy Noether）於 1918 年證明，揭示它們其實是同一個事實換了不同的外衣：物理系統作用量的每一個連續對稱都對應一個守恆量，反之亦然。對稱與守恆是同一枚硬幣的兩面。它是全部數學物理中最深刻、最優美的結果之一，而且完全棲身於變分法之中。
精確的陳述是：若作用量 S = 對 L dt 積分在一族連續變換下（在一階意義上）保持不變——平移所有坐標、旋轉它們、移動時鐘——那麼就存在一個由坐標與動量構成的特定組合，其值沿歐拉-拉格朗日方程的每個解保持常數。這套配方甚至告訴你那個守恆量是什麼，它直接由拉格朗日量和對稱的生成元搭出。三個標誌性情形：對時間平移的對稱（定律明天不變）給出能量守恆；對空間位置平移的對稱（定律在此處與彼處相同）給出線動量守恆；對旋轉的對稱（定律不在乎你朝哪個方向）給出角動量守恆。
諾特定理把守恆律從一袋彼此獨立的規則變成一條統一的組織原理，而且可以一路放大：在場論中它把標準模型的對稱與電荷之類的守恆荷聯繫起來，而尋找新對稱就是尋找新守恆律。你先前遇到的貝爾特拉米恆等式正是最簡單的實例——「不顯含 x」就是時間平移對稱，那個守恆的貝爾特拉米量就是能量。兩個誠實的限定：定理要求連續對稱（像鏡面反射那樣的離散對稱不會以這種方式給出諾特守恆律），而且那個對稱必須是作用量的對稱，而不僅僅是運動方程或軌跡的對稱。
若拉格朗日量 L 不依賴某個特定坐標 q（比如一個角度，故 L 關於那條軸有旋轉對稱），則對應的動量 p = dL/dq' 守恆：歐拉-拉格朗日方程化為 p' = 0。旋轉對稱，角動量守恆——一行寫下的諾特。
L 中缺失的坐標（循環坐標）意味著它的動量守恆——微縮版的諾特定理。
對稱必須是作用量本身的連續對稱。離散對稱（如鏡面翻轉）以及僅是運動方程的對稱，都不會以這種方式產生諾特守恆量。