貝爾特拉米恆等式（Beltrami identity）

完整地解歐拉-拉格朗日方程意味著對付一個二階微分方程，可能相當繁重。貝爾特拉米恆等式是一條省力的捷徑，只要被積函數 L 不顯含自變量 x——也就是說 L 僅是 y 和 y' 的函數，公式裡沒有單獨的 x——就可使用。在這種幸運而常見的情形下，你白得一個首次積分：在你做任何真正的工作之前，方程的階就從二降到一。

恆等式斷言：量 L 減去 y' 乘（L 對 y' 的偏導）沿極值曲線保持常數：L - y' (dL/dy') = C，一個常數。你可以把它讀作守恆律。事實上它正是能量守恆的變分祖先：當 x 是時間、L 是力學拉格朗日量時，這個守恆組合（差一個符號）就是哈密頓量，即總能量，它之所以為常數，恰恰是因為定律不顯含時間。推導很短——沿曲線對 L 求導，用上歐拉-拉格朗日方程，便看到貝爾特拉米組合對 x 的導數坍縮為零。

在實踐中，貝爾特拉米恆等式是最速降線（其滑行時間被積函數不顯含 x）、懸鏈線、旋轉極小曲面以及旋轉曲面上測地線的正確第一步——所有這些經典問題的被積函數恰好都缺自變量。它把每個問題化為一階、常常可分離變量的方程，你可以直接積分。要記住的一個誠實條件：它僅在 L 不顯含 x 時適用。若 x 單獨出現在被積函數中，那個守恆量便不再是常數，你必須改解完整的歐拉-拉格朗日方程。