最速降線問題（brachistochrone problem）
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想像一顆珠子穿在一根無摩擦的金屬絲上，金屬絲從高處 A 通向偏在一側、較低的 B。讓珠子從靜止釋放，由重力沿絲拉動。哪種形狀的絲能讓珠子用最短時間從 A 到 B？出人意料，不是直線，也不是最直接的俯衝。最速降線（希臘語意為「最短時間」）問題就是求最快下降的曲線——在計時上勝過其他一切滑道的那一條。
寫成泛函，行進時間為 T[y] = 對（路徑的弧長元）除以速度的積分。由能量守恆，下落高度差 h 的珠子速度為 sqrt(2 g h)，故被積函數是 sqrt(1 + y'^2) 除以 sqrt(2 g y)，其中 y 自起點向下度量。由於這個被積函數不顯含 x，貝爾特拉米恆等式立即給出首次積分，解出來揭示答案：一條倒置的擺線——滾動車輪邊緣一點所描出的曲線。最快的滑道一開始陡降以迅速積累速度，然後變平，當 B 遠在一側時甚至會降到 B 以下再爬回來。
約翰·伯努利在 1696 年把這個問題作為公開挑戰提出，隨之而來的解答洪流——來自牛頓、萊布尼茨、洛必達和伯努利兄弟——常被視為變分法作為一門學科的誕生。除了歷史分量，它是「最短」與「最快」是不同最佳化這一點最乾淨的示例：直絲長度最短卻更慢，因為在前段路程上花在陡降上的代價，儲下的速度會在餘下旅程中得到回報。同樣的取捨潛藏在任何最短時間路徑問題中，從光學（費馬原理，光走最快路徑並在界面處折彎）到運動規劃。
對於橫向一單位、縱向一單位的下落，擺線滑道勝過直斜坡：儘管直絲長度更短，所用時間卻更長，因為擺線用前段的陡降換來速度，載著珠子輕快地跑完餘下路程。
最快的滑道是擺線而非直線——早早儲下的速度勝過單純的短。
一個常見的失誤是以為最快路徑就是最短或最陡的。兩者都不是；它是擺線，而且當端點水平距離較遠時，它甚至會先降到目標之下再爬回去。