黎曼曲率張量（Riemann curvature tensor）
/ REE-mahn /
你如何從一個空間內部判斷它是真的彎曲，還是只是用彎曲座標描述？非平凡的度規或非零的克里斯托費爾符號都不是證據——平直空間在極座標裡兩者都有。黎曼曲率張量正是那個誠實的、座標無法矇混的答案：一個張量，它為零當且僅當空間真正平直，而它的非零分量精確量度空間彎曲多少、在哪些平面內彎曲。
它最乾淨的含義是操作性的。取一個向量，沿由兩個方向張成的微小閉環作平行移動；在平直空間它原樣回來，但在彎曲空間它略微轉動著回來。黎曼張量就是把那個環與那個向量變成轉動的機器：向量的改變量等於（黎曼張量的一個縮併）乘以環的面積，取主導階。等價地，它量度兩個協變導數不可交換的程度：(nabla_i nabla_j - nabla_j nabla_i) V^k = R^k_{lij} V^l。用分量，它由克里斯托費爾符號及其一階導數構造，R^l_{ijk} = partial_j Gamma^l_{ik} - partial_k Gamma^l_{ij} + Gamma^l_{jm} Gamma^m_{ik} - Gamma^l_{km} Gamma^m_{ij}。帶四個指標，它攜帶大量數據——在 n 維中，計入其對稱性後有 n^2(n^2-1)/12 個獨立分量（二維 1 個，三維 6 個，四維時空 20 個）。縮併它得到里奇張量，再得標量曲率，正是進入愛因斯坦場方程的那些部分。
黎曼張量是微分幾何的核心，也是廣義相對論的數學心臟。在二維中它唯一的獨立分量本質上就是高斯曲率，把這套高級機器接回普通曲面的曲率。在四維時空中它編碼完整的潮汐引力場：鄰近自由下落粒子的相對加速度（測地偏離）直接由黎曼支配，這就是為什麼黑洞附近的潮汐拉伸是曲率效應，而非力。把它與克里斯托費爾符號區分開的關鍵誠實之處：黎曼張量是真正的張量，所以無法被變換掉——若它在一個座標系非零，便在所有座標系非零，這正是為什麼它、而非聯絡，才是曲率真實而無歧義的量度。
在半徑 a 的球面上，黎曼張量非零，其唯一的獨立部分約化為高斯曲率 K = 1/a^2——這就是為什麼在球面上沿閉環平行移動的向量回來時轉過的角度等於（所圍面積）除以 a^2。在平面或圓柱面上，黎曼張量每個分量都恆為零，證實二者內蘊皆平直。
在曲面上黎曼張量塌縮為高斯曲率；它恰在內蘊平直的空間上為零。
黎曼張量處處為零是平直空間的嚴格定義——且不像克里斯托費爾符號，它是真正的張量，所以任一標架中只要有一個非零分量，就證明了任何座標變換都消不掉的曲率。符號與指標排序的約定在不同教科書間不同，所以比較公式前總要核對作者的定義。