克里斯托費爾符號（Christoffel symbol）
/ KRIS-toffel /
在彎曲或曲線座標空間中，基向量本身隨你從一點移到另一點而變化——在極座標裡，徑向與角向在不同地方實實在在地指向不同方向。所以當你對一個向量求導時，變化的一部分是向量真的在變，另一部分只是底下的基在擺動。克里斯托費爾符號正是分離這兩種效應的記帳：它們精確記錄基向量隨你沿各方向邁步時如何轉動。
記作 Gamma^k_{ij}（三個指標），一個克里斯托費爾符號回答：當你沿座標 j 方向移動時，第 i 個基向量的變化有多少指向第 k 個基方向？它們完全由度規及其一階導數算出，公式為 Gamma^k_{ij} = (1/2) g^{kl} (partial_i g_{jl} + partial_j g_{il} - partial_l g_{ij})，對 l 求和。對標準度規聯絡，它們在下方一對指標上對稱（Gamma^k_{ij} = Gamma^k_{ji}）。關鍵是：儘管帶有指標，克里斯托費爾符號並不是張量——在座標變換下它們多出一個非齊次項（一個二階導數片段），任何張量都不會有。這不是缺陷——這恰恰是所需的修正，好讓它們構造出的協變導數成為張量。
克里斯托費爾符號是計算微分幾何與廣義相對論的主力。它們出現在協變導數（尊重彎曲幾何的導數）中、在測地線方程中（最直路徑方程是 d^2 x^k/ds^2 + Gamma^k_{ij} (dx^i/ds)(dx^j/ds) = 0，其中 Gamma 提供「虛擬的」離心與類科里奧利項），並作為黎曼曲率張量的構件。一個誠實而重要的微妙之處：因為它們不是張量，克里斯托費爾符號在平直空間中可以非零（在普通極座標裡就非零），且通過巧妙選座標可在任一選定點處讓它們全部為零。所以非零的 Gamma 並不意味著空間彎曲——只有它們導數的樣式、組裝成黎曼張量後，才能探測真正的曲率。
在平直二維極座標 (r, theta) 中，唯一非零的克里斯托費爾符號是 Gamma^r_{theta theta} = -r 與 Gamma^theta_{r theta} = Gamma^theta_{theta r} = 1/r。在完全平直空間中這些非零符號，恰是當你在極座標下寫出牛頓定律時冒出的離心加速度 -r (dtheta/dt)^2 與類科里奧利項 (2/r)(dr/dt)(dtheta/dt)。
即便在平直空間，極座標的克里斯托費爾符號也非零——它們編碼離心與科里奧利項，而非曲率。
克里斯托費爾符號不是張量，非零也不能證明曲率：在極座標裡平直空間有非零的 Gamma，且在任一單點你都能選座標讓它們全部消失。真正的曲率存於由它們導數構造的黎曼張量中，那是無法變換掉的。