作為多維陣列的張量

一旦固定了基，張量就變成一個由若干下標索引的多維數字陣列：向量是 1 維陣列（一個列表），矩陣是 2 維陣列（一個網格），而三階張量 T[i,j,k] 是一個數字立方體。這就是資料科學的圖像，是 NumPy 或 PyTorch 這類軟體背後的那一個，其中「張量」就是指「n 維陣列」。

相應的詞彙命名了你如何切這個立方體。模（或路）是其中一個軸；三階張量有三個模。纖維是你固定除一個以外全部指標所得到的東西——矩陣的列與行的高階類比（一行是一條 1 模纖維）。切片固定一個指標、讓另兩個跑動，給出立方體的一張矩陣面。

重整形運算在這些視角間移動。展開（矩陣化）通過堆疊纖維把張量攤平成矩陣，讓你能逐模套用普通的矩陣工具。向量化把一切堆成一根長行。這些都是記帳，不是新數學，但 CP 與 Tucker 之類的分解正是這樣被實際計算出來的。

對陣列視角所丟棄的東西要誠實。光禿禿的陣列只是座標；只有當你同時說明各元素在換基下如何變換，它才成為真正的張量。一個沒有變換律的 NumPy 陣列並非物理意義上的張量——它是一個容器。無座標對象與它的分量陣列之間的關係，正如抽象向量與它那一行數字之間的關係。